勾股定理16种证明方法

13141516【证法1】(课本的证明)做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上

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【证法1】(课本的证明)

做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a2+b2+4×1/2ab=c2+4×1/2ab, 整理得a2+b2=c2。

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【证法2】(邹元治证明)

以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE=∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE=90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF=90o. ∴ ∠HEF=180o―90o=90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD=∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD=90o,

∴ ∠EHA + ∠GHD=90o.

又∵ ∠GHE=90o,

∴ ∠DHA=90o+ 90o=180o.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b)2.

∴(a+b)2=4×1/2ab+c2

∴ a2+b2=c2。

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【证法3】(赵爽证明)

以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA=∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD=90o,

∴ ∠EAB + ∠HAD=90o, 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c.

∵ EF=FG=GH=HE=b―a ,

∠HEF=90o.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)2.

∴(b-a)2=4×1/2ab+c2

∴ a2+b2=c2。

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【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)

以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE=∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE=90o, ∴ ∠AED + ∠BEC=90o.

∴ ∠DEC=180o―90o=90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形, 12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE=90o, ∠EBC=90o,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)2.

∴1/2(a+b)2=2×1/2ab+1/2c2

∴ a2+b2=c2。

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【证法5】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF=∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF=90°, ∴ ∠BED + ∠GEF=90°,

∴ ∠BEG=180o―90o=90o. 又∵ AB=BE=EG=GA=c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE=90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC=∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE=90o. 即 ∠CBD=90o. 又∵ ∠BDE=90o,∠BCP=90o, BC=BD=a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

a2+b2=S+2×1/2ab,

c2=S+2×1/2ab

∴a2+b2=c2.

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证法6】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA=90o,QP∥BC, ∴ ∠MPC=90o, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP=90o, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC=90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA=∠QBA=90o,

∠ABC + ∠MBA=∠MBC=90o, ∴ ∠QBM=∠ABC,

又∵ ∠BMP=90o,∠BCA=90o,BQ=BA=c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).

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【证法7】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE,

交AB于点M,交DE于点

L. K∵ AF=AC,AB=AD, ∠FAB=∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, 12a∵ ΔFAB的面积等于2,

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半,

∴ 矩形ADLM的面积=a2

同理可证,矩形MLEB的面积=b2.

∵ 正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ c2=a2+b2 。

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【证法8】(利用相似三角形性质证明)

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中, ∵ ∠ADC=∠ACB=90o,

∠CAD=∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC=AC ∶AB,

即 AC2=ADXAB.

同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 BC2=BDxAB.

∴ AC2+BC2=(AD+DB)xAB=AB2,即 a2+b2=c2、

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【证法9】(杨作玫证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BP⊥AF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H. ∵ ∠BAD=90o,∠PAC=90o,

∴ ∠DAH=∠BAC. 又∵ ∠DHA=90o,∠BCA=90o, AD=AB=c, ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH=BC=a,AH=AC=b

由作法可知, PBCA 是一个矩形,

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB=

CA=b,AP=a,从而PH=b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH=DG=a,∠GDT=∠HDA .

又∵ ∠DGT=90o,∠DHF=90o,

∠GDH=∠GDT + ∠TDH=∠HDA+ ∠TDH=90o,

∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF=FH=a . TF⊥AF,TF=GT―GF=b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP=b,高FP=a +(b―a). 用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为

c2=S?+S?+S?+S?+S? ①

∵ S?+S?+S?=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b2-1/2ab

S?=S?+S?

∴S?+S?=b2-1/2ab-S=b2-S?-S? ②

把②代入①,得

C2=S?+S?+b2-S?-S?+S?+S?

=b2+S?+S?=b2+a2

∴ a2+b2=c2.

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【证法10】(李锐证明)

设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图).

∵ ∠TBE=∠ABH=90o, ∴ ∠TBH=∠ABE. R又∵ ∠BTH=∠BEA=90o,

BT=BE=b, ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT=AE=a. ∴ GH=GT―HT=b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT=90o, ∠DBC + ∠BHT=∠TBH + ∠

∴ ∠GHF=∠DBC. ∵ DB=EB―ED=b―a,

∠HGF=∠BDC=90o,

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S?=S?.

过Q作QM⊥AG,垂足是M. 由∠BAQ=∠BEA=90o,可知 ∠ABE

=∠QAM,而AB=AQ=c,所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S?=S?.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM=90o,∠BAE + ∠CAR=90o,∠AQM=∠BAE, ∴ ∠FQM=∠CAR.

又∵ ∠QMF=∠ARC=90o,QM=AR=a,

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S?=S?.

C2=S?+S?+S?+S?+S?, a2=S?+S? b2=S?+S?+S?,

又∵ S?=S?,S?=S?,S?=S?,

∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?

=S?+S?+S?+S+?S?

=c2,

即 a2+b2=c2.

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【证法11】(利用切割线定理证明)

在 RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a. 因为∠BCA=90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得

AC2=AExAD

=(AB+BE)(AB-BD)

=(c+a)(c-a)

=c2-a2,

即b2=c2-a2,∴ a2+b2=c2.

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【证法12】(利用多列米定理证明)

在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图). 过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有

ABxDC=ADxBC+ACxBD,

∵ AB=DC=c,AD=BC=a, AC=BD=b,

∴ AB2=BC2+AC2,即 c2=a2+b2.

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【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.

∵ AE=AF,BF=BD,CD=CE,

∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)

=CE+CD=r + r=2r,

即 a+b-c=2r,

∴ a+b=2r+c.

∴(a+b)2=(2r+c)2

即a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2

∵ S△ABE=1/2ab,

∴ 2ab=4S△ABE,

又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r

=1/2(2r+c+c)r=r2+rc,

∴4(r2+rc)=4S△ABC,

∴4(r2+rc=2ab

∴a2+b2+2ab=2ab+c2,

∴ a2+b2=c2.

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【证法14】(利用反证法证明)

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.

假设a2+b2不等于c2.,即假设 AC2+BC2不等于AB2,则由 AB2=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD

22可知 AC2不等于ABxAD,或者 BC2不等于ABxBD. 即 AD:AC≠AC:AB,或者 BD:BC≠BC:AB.

在ΔADC和ΔACB中,

∵ ∠A=∠A, ∴ 若 AD:AC≠AC:AB,则

∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中,

∵ ∠B=∠B,

∴ 若BD:BC≠BC:AB,则 ∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB=90o,

∴ ∠ADC≠90o,∠CDB≠90o.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以,AC2+BC2=AB2的假设不能成立.

∴ a2+b2=c2

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【证法15】(辛卜松证明)

设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.

把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD

(a+b)=a2+b2+2ab;

把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分,则正方形ABCD的面积为

∴ (a+b)2=4×1/2ab+c2=2ab+c2,

∴ a2+b2+2ab=2ab+c2.

∴a2+b2=c2.

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【证法16】(陈杰证明)

设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,

则 AD=c.

∵ EM=EH + HM=b + a , ED=a, ∴(b+a) DM=EM―ED=(b+a)―a=b.

又∵ ∠CMD=90o,CM=a, ∠AED=90o, AE=b,

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD=∠MDC,DC=AD=c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC=180o, M∠ADE + ∠MDC=∠ADE + ∠EAD=90o,

∴ ∠ADC=90o.

∴ 作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD=∠DAE + ∠FAD=90o,

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB,在ΔABF和ΔADE中,

∵ AB=AD=c,AE=AF=b,∠BAF=∠DAE,

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB=∠AED=90o,BF=DE=a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中,

∵ AB=BC=c,BF=CG=a,

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .

∵c2=S?+S?+S?+S? b2=S?+S?+S? a2=S?+S?

S?=S?=S?=S?+S?,

∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?

=S?+S?+S?+(S?+S?)

=S?+S?+S?+S?

=c2

∴ a2+b2=c2.

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