性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

1.振作起来:定义:是三角形三个高度的交点。自然:【性质1】锐角三角形的垂直中心在三角形中;直角三角形的垂直中心在右顶点上;钝角三角形的垂直中心在三角形的外面。【性质

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

1.振作起来:

定义:是三角形三个高度的交点。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

自然:

【性质1】锐角三角形的垂直中心在三角形中;直角三角形的垂直中心在右顶点上;钝角三角形的垂直中心在三角形的外面。

【性质2】三角形的垂直中心是垂直于三角形的中心;或者说,三角形的心是它旁边三角形的中心。

【性质3】垂直中心O关于三条边的对称点都在ABC的外接圆上。

【性质4】ABC,有六组四点圆和三组(每组四个)相似的直角三角形。

【性质5】o、a、b、c四点中的任意一点是顶点为其他三点的三角形的垂直中心(而这样的四点称为-垂直中心群)。

[性质6]ABC、ABO、BCO、ACO的外接圆是等圆。

【性质7】三角形任意顶点到垂直中心的距离等于外中心到对边距离的两倍。

[性质8]设O和H为ABC的外中心和垂直中心,则BAO=HAC,ABH=OBC,BCO=HCA。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

[性质9]一个锐角三角形的垂直中心到三个顶点的距离之和等于其内切圆和外接圆半径之和的两倍,即AH BH CH=2(r R)。

【性质10】锐角三角形的垂直中心是垂直三角形的心脏;在锐角三角形的内接三角形中(顶点在原三角形的边上),垂足三角形周长最短。

[性质11]如果h是非直角三角形的垂直中心,d,e,f是h在BC,ca,ab上的投影,H1,H2,H3是AEF,BDF,CDE的垂直中心,那么DEFH1 H2 H3。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

【性质12】三角形垂直中心H的垂足三角形的三条边与原三角形外接圆在各顶点的切线平行。

2.内部

定义:是三角形三个内角平分线的交点,即内接圆的圆心。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

即AE、BF、CD分别平分角BAC、角ABC、角BCA,AE、BF、CD相交于点o,点o是ABC的心脏。

自然:

【性质1】三角形内中心到三条边的距离相等,等于内切圆半径r .

[性质2] BOC=90 BAC/2。

[性质3]在RtABC中,a=90,三角形的内切圆在d处切BC,则SABC=BDxCD

3.重心:

重心的定义:重心是一个三角形的三条中线的交点。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

重心的性质:

【性质1】三角形重心到一条边的中心到与这条边相对的顶点的距离之比为1:2,即OD:OA=1:2;

OE:OC=1:2;

OF:OB=1:2 .

[性质2]重心与三角形三个顶点组成的三个三角形的面积相等,即SAOB=SBOC=SAOC。即重心到三边的距离与三边的长度成反比。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

【性质3】重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

【性质4】在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均值。即在ABC中,若点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3),重心o的坐标为{(x1 2×3)/3,(Y1 Y2 Y3)/3}。

4.外部心脏:

震中定义:震中是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的中心。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

外在心的本质:

【性质1】如果O是ABC的震中,BOC=2A(A为锐角或直角)或BOC=360-2A(A为钝角)。

【性质2】三角形为锐角三角形时,外中心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外中心在三角形之外;当三角形是直角三角形时,外中心在斜边上,与斜边的中点重合。

【性质3】外中心到三个顶点的距离相等,即OA=OB=OC。

5.侧心:

侧中心的定义:

它是三角形外角的两个平分线和内角的一个平分线的交点。

性质是什么意思(旁心及性质分别是指什么)

侧中心的性质:

[物业1]

【性质3】直角三角形斜边上的切圆半径等于三角形周长的一半(假设ABC为Rt,A=90度,O1为斜边BC上的切圆,那么这个切圆的半径为R1=1/2 (AB BCAC))。

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